Games101-01-review-of-linear-algebra

图形学依赖

基础数学：线性代数(Linear algebra)、微积分(calculus)、统计学(statistics)

基础物理：光学(Optics)、力学（Mechanics）

杂项（Misc）：信号处理、数值分析

前沿研究：波动光学、美学

线性代数

基础概念复习

线性代数的几何意义更利于理解”线性代数到底是什么？”这个问题。

向量(Vector)

描述空间中的一个方向，拥有方向和长度两个属性。

• 两个坐标相减即可得到。开始的位置不重要。
• 向量的模是向量的长度。向量除以其模即为此向量的单位向量，单位向量与原向量方向相同，长度为1.

（1）向量可以进行加减。

• 平行四边形法则
• 三角形法则
• 代数上直接坐标相加

（2）向量可以进行点乘和叉乘。

• **点乘(Dot product)**得到的是一个向量在另一个向量上的投影的长度，结果是数值。代数上直接两个坐标对应相乘后相加。

  • 点乘的结果也是两个向量夹角的余弦。
  • 因此在图形学中，点乘往往用以判断两个向量方向的关系。
  • 点乘符合乘法交换律、分配律。

• **叉乘(Cross product)**的得到的是一个垂直于两个向量所在平面的向量。

  • 右手螺旋定则：对于向量a叉乘b，大拇指与四指垂直，将手掌（四指）从a旋转到b，大拇指的方向即为结果向量的方向。
  • 结果向量的模等于a的模乘以b的mo再乘以夹角的正弦值。
  • 向量叉乘自己，结果为长度为0的向量。

  向量的叉乘可以写成矩阵形式。

图形学中的叉乘作用是判断左或右，内或外。

图形学中向量默认是列向量（习惯），相比是便于与矩阵相乘。

坐标系

x叉乘y得到的是z，则为右手坐标系。

叉乘的应用

判断一点是否在三角行内部。无论顺时针还是逆时针绕，都可以用点p是否在三条边的左（或右）来判断是在三角形内。

矩阵

矩阵相乘。不满足交换率，满足结合分配率。

一个列向量看作一个Mx1的矩阵，可以与M列的矩阵相乘。

一个坐标可以看作一个列向量，进而可以看做一个M行1列的矩阵，进而可以通过一个矩阵乘以它来完成一些变换。

概念：对角阵，单位阵，逆矩阵，转置矩阵。逆矩阵与转置矩阵的分配率。

向量的点乘和叉乘可以写成矩阵形式。